Jednowymiarowy element skończony
W rozdziale tym podajemy ścisłe matematyczne definicje związane z klasyczną metodą elementów skończonych. W szczególności, definicje elementu skończonego zostały podane przez Ciarleta w 1978 roku, oraz w kontekście adaptacyjnej metody elementów skończonych przez Demkowicza w 2007 roku [1] [2].
Poniżej podajemy obydwie te definicje. Definicja Ciarleta używa pojęcia stopni swobody, natomiast definicja Demkowicza używa pojęcia funkcji kształtu i operatora interpolacji przez projekcję. Pokażemy następnie zależności pomiędzy tymi dwoma definicjami, z których wynika iż są one równoważne. Element skończony zdefiniujemy najpierw w jedym wymiarze, dla referencyjnego (często zwanego również wzorcowym) elementu skończonego zdefiniowanego na przedziale \( \hat{K}=[0,1] \subset {\cal R} \), a następnie uogólnimy tą definicję na dowolny element zdefiniowany na dowolnym przedziale \( K=[ x_l,x_r ] \subset {\cal R} \).
\( \left( \hat{K}, X\left(\hat{K}\right), \Pi_p \right) \)
zdefiniowaną za pomocą następujących czterech kroków
- Geometria: \( \hat{K}=[0,1] \subset {\cal R} \)
- Wybór węzłów: \( \hat{a}_1, \hat{a}_2 \) węzły związane z wierzchołkami 0 i 1 elementu, oraz \( \hat{a}_3 \) węzeł związany z wnętrzem (0,1) elementu
- Definicja funkcji kształtu elementu \( X \left( \hat{K}\right)=span \{ \hat{\chi}_j \in {\cal P}^p\left(\hat{K}\right),j=1,...,p+1 \} \) gdzie \( {\cal P}^p\left(\hat{K}\right) \) to wielomiany stopnia \( p \) określone na przedziale \( \hat{K} =(0,1) \) oraz \( \hat{\chi}_1(\xi)=1-\xi \), \( \hat{\chi}_2(\xi)=\xi \), \( \hat{\chi}_3(\xi)=(1-\xi)\xi \), \( \hat{\chi}_l(\xi)=(1-\xi)\xi(2\xi-1)^{l-3} \quad l=4,...,p+1 \).
- Definicja operatora interpolacji przez operator projekcji \( \Pi_p:H^1\left( \hat{K} \right) \rightarrow X\left( \hat{K}\right) \). Dla danej funkcji \( u \in H^1\left(\hat{K} \right) \), jej interpolant bazujący na projekcji to \( \Pi_pu\in X\left( \hat{K}\right) \) jest zdefiniowany poprzez następujące warunki:
\( \Pi_p u(\hat{a}_1)=u(\hat{a}_1) \)
\( \Pi_p u(\hat{a}_2)=u(\hat{a}_2) \)
\( \| \Pi_p u -u \|_{H^1_0(0,1)}\rightarrow min \)
gdzie \( \| \Pi_p u -u \|_{H^1_0(0,1)} = \int_0^1 \left( \left( \Pi_p u \right)' -u' \right)^2 d\xi \) to norma w przestrzeni Sobolewa \( H^1_0(0,1) \).
\( \Pi_p u(0)=u(0) \)
\( \Pi_p u(1)=u(1) \)
\( \| \Pi_p u -u \|_{H^1_0(\hat{a}_3)}\rightarrow min \)
jest równoważny problemowi: znaleźć \( \Pi_pu\in X\left( \hat{K}\right) \) taki że
\( \Pi_p u(0)=u(0) \)
\( \Pi_p u(1)=u(1) \)
\( \int_0^1 \left( \left( \Pi_p u \right)' -u' \right) v' d\xi =0 \quad \forall v \in X\left( \hat{K} \right) \)
który z koleji jest równoważny problemowi rozwiązania układu równań:
\( \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & \cdots & a_{3,p+1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{p+1,1} & a_{p+1,2} & a_{p+1,3} & \cdots & a_{p+1,p+1}\end{bmatrix} \begin{bmatrix} u^p_1 \\ u^p_2 \\ u^p_3 \\ \vdots \\ u^p_{p+1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} u(0) \\ u(1) \\ b_3 \\ \vdots \\ b_{p+1} \end{bmatrix} \)
gdzie \( \Pi_p u = \sum_{i=1,...,p+1} u^p_i \chi_i \) jest kombinacją liniową funkcji bazowych,
\( a_{ij} = \int_0^1 \hat{\chi}_i' \hat{\chi}_j' d\xi \)
\( \left( \hat{K}, V^*\left(\hat{K}\right), X\left(\hat{K}\right) \right) \)
zdefiniowaną za pomocą następujących czterech kroków
- Geometria: \( \hat{K}=\left(0,1\right) \in {\cal R} \)
- Wybór węzłów: \( \hat{a}_1, \hat{a}_2 \) węzły związane z wierzchołkami 0 i 1 elementu, oraz \( \hat{a}_3 \) węzeł związany z wnętrzem (0,1) elementu
- Definicja przestrzeni stopni swobody \( V^* \left( \hat{K}\right) = span \{ \psi_i \}_{i=1,...,p+1} \) jako przestrzeni dualnej do \( V\left( \hat{K} \right) \).Kojarzymy stopnie swobody z węzłami elementu oraz z wnętrzem elementu \( \psi_1 : V\left(\hat{K}\right) \ni f \rightarrow f(\hat{a}_1)\in R \), \( \psi_2 : V\left(\hat{K}\right) \ni f \rightarrow f(\hat{a}_2)\in R \), \( \psi_3 : V\left(\hat{K}\right) \ni f \rightarrow 3 \int_{\hat{a}_3} f'(\xi) (1-2\xi)d\xi \in R \). Możliwe jest rozszerzenie tej definicji na dalsze stopnie swobody (tutaj podajemy definicję dla \( p=2 \).
- Konstrukcja przestrzeni aproksymacyjnej \( X\left(\hat{K}\right) \subset V\left(\hat{K}\right) \). Przestrzeń aproksymacyjna jest rozpięta przez bazę wielomianów będącą bazą dualną do bazy stopni swobody
\( \psi_i\left(\chi_j\right) = \delta_{ij} \)
\( \chi_j, j=1,2,...,p+1 \) oznacza funkcje kształtu w myśl definicji 1, natomiast
\( \psi_i,i=1,2,...,p+1 \) dla \( p=2 \) oznacza stopnie swobody w myśl definicji 2, wówczas
\( \psi_i \left( \chi_j \right) = \delta_{ij} \)
\( \Pi_p : H^1(0,1)\rightarrow {\cal P}^p \left(\hat{K }\right) \) będzie operatorem interpolacji przez projekcje w myśl Definicji 1.
Niech \( \chi_j, j=1,2,...,p+1 \) oznacza funkcje kształtu w myśl definicji 1. Wówczas, istnieje unikalny zbiór liniowych i ciągłych funkcjonałów \( \psi_j : H^1\left(0,1\right) \rightarrow {\cal P }^p \left(0,1 \right) \) takich że
\( \left( K, X\left(K \right), \Pi_p \right) \)
zdefiniowaną za pomocą następujących czterech kroków
- Geometria: \( K=[ x_l,x_r] \subset {\cal R}, x_l,x_r \in {\cal R} \)
- Wybór węzłów: \( a_1, a_2 \) węzły związane z wierzchołkami \( x_l,x_r \) elementu, oraz \( a_3 \) węzeł związany z wnętrzem \( K=[ x_l,x_r] {\cal R} \) elementu
- Definicja funkcji kształtu elementu \( X \left( K\right)=\{ \chi = \hat{\chi} \cdot x_K^{-1}, \hat{\chi} \in X\left(\hat{K}\right) \} \) gdzie \( x_K:\hat{K} \rightarrow K \) to odwzorowanie z elementu wzrocowego \( K=[0,1] \) na element \( K=[x_l,x_r] \) dane \( \hat{K} \ni \xi \rightarrow x_K\left(\xi\right)=x_l+(x_r-x_l)=x\in K \)
- Definicja operatora interpolacji bazującego na operatorze projekcji \( \Pi_p:H^1\left( \hat{K} \right) \rightarrow X\left( \hat{K}\right) \) zdefiniowanego analogicznie do Definicji 1.
Elementów referencyjnych używa się do całkowania sformułowań słabych.
Elementy referencyjne mają regularny kształt.
Element referencyjny odwzorowywany jest na dany element, a jego geometria opisana jest odwzorowaniem mapy z elementu referencyjnego na dany element. W całkach jakobian tego odwzorowania reprezentuje skalowanie pola (objętości) elementu referencyjnego na dany element.